Introducción al lenguaje GAMS

2.1 Lenguaje GAMS: Principios generales

Gams (General Algebraic Modeling System) es un lenguaje de modelización desarrollado en los años 1980 en el seno del Banco Mundial con el objetivo de dotar a los economistas de un instrumento muy versátil para resolver problemas de optimización (tanto modelos de programación lineal como no lineal y entera). El programa GAMS ha experimentado un continuo desarrollo y resulta especialmente útil para plantear y resolver modelos complejos de programación matemática.

Una de las ventajas de GAMS es que permite que el modelizador se concentre en la formulación del modelo. Al no tener que preocuparnos del método de resolución, gams aumenta el tiempo disponible para formular el modelo, así como para analizar los resultados. Además, utilizando GAMS la escritura del modelo resulta fácil de comprender por otros modelizadores o potenciales usuarios:

• La escritura del modelo es concisa, análogamente a la notación matemática. Pueden introducirse varias restricciones en la misma ecuación, de la misma forma que hacemos al formular algebraicamente el problema.

• Los datos pueden introducirse en forma de listas o de tablas, de forma que no resulta difícil revisarlos o modificarlos. GAMS permite importar datos de otros programas (hojas de cálculo) y exportar los resultados del modelo. Los datos pueden estar separados de la formulación matemática del modelo.

• Podemos introducir texto explicativo (por ejemplo, de los símbolos utilizados).

• Toda la información necesaria para comprender el modelo se encuentra en el mismo documento.

El programa GAMS consiste en un lenguaje de modelización (módulo base) y un conjunto de solvers (algoritmos de resolución de problemas) a elección del usuario (dependiendo del tipo de problema que se pretenda resolver). En la Tabla 1 se muestran algunos de los solvers más utilizados. Además, puede usar GAMS en diferentes plataformas y utilizar muchas herramientas de conectividad y productividad.

Tabla 1. Algunos solvers utilizados para cada tipo de problema

También puede elegirse entre distintas versiones de GAMS (estudiante, profesional, etc.), que se diferencian básicamente en su capacidad para resolver problemas de diferente dimensión. Así, aunque la versión estudiante dispone de todos los solvers, el tamaño de los modelos que permite resolver está limitado.

La utilización de GAMS para resolver problemas de optimización comporta dos etapas:

1. En primer lugar, escribimos el modelo en lenguaje GAMS utilizando un editor de texto (creamos un archivo de entrada nombre_archivo.gms).

2. A continuación, presentamos nuestro archivo a gams, que resolverá el problema y generará automáticamente un archivo de resultado o archivo de salida (archivo nombre_archivo.lst).

Es posible ejecutar GAMS en dos (o unix) utilizando un editor de texto para crear los archivos de entrada nombre_archivo.gms o bien podemos utilizar una interfaz:

• GAMS IDE (Integrated Development Environment) es un entorno gráfico para para editar y ejecutar archivos GAMS. Este entorno permite resaltar elementos del lenguaje con colores e incorpora, en la sección help, varios documentos de ayuda (en inglés), entre ellos la guía de utilización de GAMS (GAMS Documentation).

• GAMS Studio es un entorno gráfico desarrollado más recientemente que tiene la ventaja de poder ejecutarse en distintos sistemas operativos. En esta guía se explica el uso de GAMS a través de GAMS Studio.

¿Cómo utilizar GAMS Studio?

1. Una vez que GAMS está instalado en el ordenador (ver guía de instalación en Anexos), vamos a abrirlo haciendo clic en el icono

2. En primer lugar, podemos elegir los ajustes (settings) indicando la carpeta donde se van a colocar los modelos, etc.

3. A continuación, podemos crear un archivo de entrada nombre_archivo.gms con los datos e instrucciones del modelo a resolver.

4. Ahora podemos ejecutar el modelo haciendo clic en run gams.

5. Una vez completada la ejecución, GAMS genera automáticamente un archivo de salida. El archivo archivo de salida o de solución llevará el mismo nombre que el archivo de entrada pero con la extensión lst (nombre_archivo.lst).

6. Si hay errores en el modelo que hacen imposible su resolución, GAMS interrumpe la ejecución, y genera un archivo nombre_archivo.lst en el cual señala los errores encontrados, dando asimismo valiosas indicaciones sobre la localización y la naturaleza de los errores. Una vez corregidos los errores se retoma el proceso en el punto 4.

2.2 La estructura base de un modelo en lenguaje GAMS

GAMS utiliza la notación algebraica:

• La representación del problema en GAMS es similar a la formulación algebraica del problema (facilita la interpretación del modelo por otros usuarios).

• La formulación del modelo está separada de los datos. El modelo puede aumentar de tamaño sin que ello implique aumentar la complejidad del mismo.

La Tabla 2 muestra la estructura de los archivos de entrada y de salida de GAMS. Como acabamos de ver, la primera etapa consiste en escribir el modelo en un archivo de entrada (.gms). La columna izquierda del cuadro muestra la estructura base del archivo de entrada. Los términos en mayúsculas son palabras clave, que permiten al programa reconocer los diferentes elementos del problema (por esta razón mantenemos la terminología en inglés).

Los principales elementos del lenguaje GAMS se detallan en la sección 4. Pero antes vamos a escribir y resolver un primer ejemplo en lenguaje GAMS. Ello nos permitirá comprender mejor los principios de utilización de GAMS y la lógica del lenguaje de programación utilizado por GAMS.

Tabla 2. Estructura base de un modelo en lenguaje GAMS

3.1 Ejemplo de modelo de programación lineal

Para ilustrar el funcionamiento de GAMS, en esta guía nos centraremos en los modelos de optimización con restricciones. En concreto, utilizaremos un ejemplo simple de programación lineal. Una aplicación clásica de la programación lineal es la planificación agraria, donde el objetivo es determinar el plan de producción que maximiza el beneficio de la explotación respetando las restricciones de recursos y las condiciones externas.

Recordemos que un modelo de programación lineal consta de tres ingredientes esenciales:

• Una función objetivo

• Un conjunto de restricciones (de desigualdad)

• Un conjunto de condiciones de no-negatividad de las variables

En general, la formulación algebraica del modelo de optimización de la producción agraria es:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{ccc}Maximizar& Z=\sum _c^{}{m}_c{x}_c& [1]\\ sujetoa& \sum _c^{}{nr}_{c,r}{x}_c\le {dr}_r;r=1,2\cdots ,R& [2]\\ & x_c\ge 0;c=1,2\cdots ,C& [3]\end{array}\end{array}$$

siendo c actividad de producción (cultivo)

r recurso fijo de la explotación (tierra, trabajo,…)

Z margen global de la explotación (variable objetivo)

m_c margen del cultivo (coeficiente de la función objetivo)

x_c nivel de actividad (variable de decisión)

nr_c,r necesidades de recursos por cultivo y recurso

dr_r disponibilidad de recursos

En términos matemáticos, el problema consiste en encontrar el vector x_c que maximice la función objetivo respetando las condiciones impuestas al sistema.

• Todo vector x_c que satisface las restricciones del modelo se denomina solución factible del programa lineal (o programa posible). El dominio D de soluciones factibles es la región factible o región admisible.

• La solución factible x_c que hace máxima la función objetivo es la solución óptima, que denotaremos x_c^*. El valor que toma la función objetivo para la solución óptima se denomina valor óptimo.

Para resolver el problema de forma analítica, utilizamos el método de los multiplicadores de Lagrange. Partimos de la función de Lagrange, que incorpora un multiplicador de Lagrange λ_r asociado a cada restricción de recursos:

$$L=\sum _c^{}{m}_c{x}_c+\sum _r^{}{\lambda }_r({dr}_r-\sum _c^{}{nr}_{c,r}{x}_c)$$

Las condiciones de optimalidad de primer orden (condiciones de Kuhn-Tucker) son:

$$\begin{array}{cccc}\frac{\partial L}{\partial x_c}=m_c-\sum _r^{}{\lambda }_r{nr}_{c,r}\le 0& \mathrm{\perp }& x_c\ge 0& [4]\\ \frac{\partial L}{\partial {\lambda }_r}={dr}_r-\sum _c^{}{nr}_{c,r}{x}_c\ge 0& \mathrm{\perp }& {\lambda }_r\ge 0& [5]\end{array}$$

Los multiplicadores de Lagrange tienen una interpretación económica, representando el valor marginal de los recursos. El grupo de ecuaciones [4] indica que si la superficie asignada al cultivo c es positiva (x_c > 0) entonces el beneficio marginal por hectárea de este cultivo (m_c) es igual al coste de utilización de los recursos medido a sus valores marginales. En cambio, la superficie asignada a un cultivo será nula (x_c = 0) cuando el beneficio marginal sea estrictamente inferior al coste de oportunidad.

El grupo de ecuaciones [5] indica que el valor marginal del recurso r será nulo (λ_r = 0) cuando el recurso no sea utilizado en su totalidad. Cuando el recurso sea utilizado en su totalidad, λ_r será positivo. Para cada recurso r, el multiplicador λ_r mide el impacto sobre la función objetivo de una variación marginal en la disponibilidad del recurso. Este multiplicador corresponde al valor dual o valor marginal del recurso (precio sombra) y puede interpretarse como el precio máximo que estaríamos dispuestos a pagar, en el óptimo, por disponer de una unidad adicional del recurso.

Para resolver el problema de forma numérica, es preciso utilizar algún algoritmo de resolución. En nuestro caso, utilizaremos el programa GAMS. Veámoslo con un ejemplo simple, que denominaremos ejemplo1:

Un agricultor tiene 50 hectáreas de tierra y dispone de 1800 horas de trabajo al año. Puede elegir entre dos cultivos: trigo y maíz. El trigo tiene un margen bruto¹ de 450 euros/ha y el maíz de 1000 euros/ha. El trigo necesita 20 horas de trabajo por hectárea y por año y el maíz 60 horas. El agricultor desea determinar el plan de producción que le permite obtener el margen global de la explotación más elevado posible.

Denominando c al subíndice correspondiente a los cultivos, dti a la superficie de la explotación, dtr a la disponibilidad de trabajo, ntr a las necesidades de trabajo por cultivo, mb al margen bruto, X a la superficie dedicada a cada cultivo (variables de decisión que tratamos de determinar), y Z al margen global de la explotación (variable objetivo), el problema en notación algebraica puede escribirse:

$$\begin{array}{cc}Max& Z=\sum _c^{}{mb}_c{X}_c\\ s.t.& \sum _c^{}{X}_c\le dti\\ & \sum _c^{}{ntr}_c{X}_c\le dtr\\ & X_c\ge 0\end{array}$$

Nótese que también podríamos haber formulado el problema utilizando una notación algebraica más concisa, a través de las ecuaciones [1] a [3]. Sin embargo, se ha preferido utilizar esta notación para facilitar el aprendizaje de GAMS.

En forma de matriz de programación lineal, este programa lineal se escribe como se muestra en la Tabla 3.

Tabla 3. Ejemplo de matriz de programación lineal

Al tratarse de un problema muy simple, con solo dos actividades de producción, el problema puede resolverse de forma gráfica. En primer lugar, representamos la región admisible, es decir, el conjunto de combinaciones de cultivos de satisfacen todas las restricciones (Figura 1). Para ello, representamos los niveles de actividad en un plano cartesiano. Debido a las restricciones de no negatividad, solo necesitamos considerar el cuadrante no negativo.

Cada restricción de recursos puede representarse como un área delimitada por los ejes cartesianos y una línea frontera (puntos en los cuales el recurso se utiliza en su totalidad). Solo los puntos ubicados en el área sombreada de la Figura satisfacen ambas restricciones simultáneamente. La región sombreada se denomina región factible o región admisible, y cada punto de dicha región se conoce como solución o programa factible. Los puntos de la región admisible representan el conjunto de todas las combinaciones de cultivos que satisfacen todas las restricciones, así como las restricciones de no negatividad. Pero algunas de estas combinaciones implican un mayor margen global que otras.

Figura 1. Primer ejemplo de programación lineal: región admisible

A continuación, representamos las rectas de isobeneficio para determinar la solución óptima. Una recta de isobeneficio representa el conjunto de puntos que permiten obtener el mismo nivel de margen global. Parametrizando la variable Z, podemos trazar la función objetivo como una familia de rectas paralelas (Figura 2).

Figura 2. Primer ejemplo de programación lineal: solución óptima

La solución óptima se encontrará en el punto de tangencia de una recta de isobeneficio con la región admisible (Figura 2). En el ejemplo, la combinación óptima de cultivos es 30 hectáreas de trigo y 20 hectáreas de maíz, resultando un margen global máximo de 33500 euros.

Hemos visto que la resolución gráfica nos ayuda a comprender los modelos de optimización con restricciones de desigualdad. Sin embargo, solamente es aplicable en modelos con un número reducido de variables de decisión. En general, debemos recurrir a algún algoritmo de programación matemática para resolver el problema.

En el apartado siguiente, formularemos y resolveremos este ejemplo utilizando el lenguaje de modelización GAMS.

3.2 Escritura del primer modelo en lenguaje GAMS

Suponiendo que sea la primera vez que utilizamos GAMS Studio, para escribir un primer modelo seguiremos las siguientes etapas:

1. Creamos una carpeta de trabajo (utilizando windows explorer, por ejemplo) donde vamos a guardar nuestro trabajo con GAMS. Se recomienda crear una carpeta de nombre corto y sin espacios. Por ejemplo, podemos crear una carpeta agrimod directamente en la unidad C: (C:\agrimod).

2. Abrimos GAMS Studio haciendo clic en el icono . Se abrirá una ventana (Figura 3).

Figura 3. Pantalla de inicio de GAMS STUDIO

3. A continuación, vamos a ajustes seleccionando el icono “settings” o a través del menú File>>Settings (Figura 4). Elegimos C:/agrimod como carpeta de trabajo.

Figura 4. Seleccionar los ajustes

4. Haciendo clic en File>>New en el menú, abrimos un nuevo archivo (Figura 5).

Figura 5. Abrir un archivo GAMS

Se abrirá un archivo nuevo donde podremos escribir nuestro primer modelo (Figura 6).

Figura 6. Crear un nuevo archivo GAMS

6. Para poner nombre al archivo, seleccionamos File>>Save as y guardamos el archivo en la carpeta C:\agrimod con el nombre ejemplo1. GAMS añade automáticamente la extensión .gms (Figura 7).

Figura 7. Poner nombre a un archivo GAMS

7. Ahora podemos escribir nuestro primer modelo en lenguaje GAMS. Recordemos el enunciado del ejemplo 1:

Un agricultor tiene 50 hectáreas de tierra y dispone de 1800 horas de trabajo al año. Puede elegir entre dos cultivos: trigo y maíz. El trigo tiene un margen bruto de 450 €/ha y el maíz de 1000 €/ha. El trigo necesita 20 horas de trabajo por hectárea y por año y el maíz 60 horas. El agricultor desea determinar el plan de producción que le permite obtener el margen global de la explotación más elevado posible.

Y la escritura algebraica del mismo:

$$\begin{array}{ccc}Max& Z=\sum _c^{}{mb}_c{X}_c& [6]\\ s.t.& \sum _c^{}{X}_c\le dti& [7]\\ & \sum _c^{}{ntr}_c{X}_c\le dtr& [8]\\ & X_c\ge 0& [9]\end{array}$$

Para escribir este problema en lenguaje GAMS, debemos tener en cuenta la correspondencia entre la notación algebraica y el lenguaje GAMS (Tabla 4).

Tabla 4. Correspondencia entre notación algebraica y lenguaje GAMS

Debemos comenzar por definir los conjuntos o listas de elementos (sets), que corresponden a los subíndices de la escritura algebraica. En nuestro ejemplo, el único subíndice que encontramos es el correspondiente a los cultivos. Por tanto, vamos a crear un set para los cultivos, de la manera siguiente: en primer lugar, es necesario anunciar a gams que vamos a introducir un conjunto, utilizando para ello la palabra clave set; a continuación, damos un nombre al conjunto (por ejemplo, C), dejamos un espacio e introducimos los elementos del conjunto entre signos slash (/); por último, vamos a anunciar que hemos terminado de introducir conjuntos utilizando un punto y coma (;). Resulta muy útil, aunque no es indispensable, escribir un texto explicativo al lado del nombre del set para hacer comprensible el modelo para otros modelizadores:

set C cultivos / trigo , maiz /

;

A continuación, vamos a introducir los datos del problema, es decir, los parámetros exógenos. Para ello, vamos a utilizar las palabras clave parameter, scalar o table.

La palabra clave scalar se utiliza para introducir datos simples. En nuestro ejemplo, el tamaño de la explotación y la disponibilidad de trabajo son datos simples. Vamos a utilizar, por tanto, la palabra clave scalar para introducir estos datos, siguiendo la misma lógica que para los conjuntos, es decir, primero vamos a dar un nombre al escalar y, después de un espacio, vamos a introducir los valores entre signos slash (/), terminando siempre con un punto y coma (;):

scalar

DTI disponibilidad de superficie (ha) /50/

DTR disponibilidad de trabajo familiar (horas) /1800/

;

La palabra clave parameter se utiliza para introducir datos con una o más dimensiones (es decir, parámetros con uno o varios subíndices). En el ejemplo, algunos datos (las necesidades de trabajo o el margen bruto) están definidos en función del cultivo. Para introducir cada uno de estos parámetros, en primer lugar le daremos un nombre e indicaremos, entre paréntesis, su dominio de definición; a continuación, y siempre dejando un espacio, introduciremos los valores entre signos slash (/). Utilizaremos un espacio para separar cada elemento del dato asociado y una coma (o un salto de línea) para separar los elementos entre sí:

parameter

NTR(C) ‘necesidades de trabajo (horas/ha)’ /trigo 20, maiz 60/

MB(C) ‘margen bruto (euros/ha)’ /trigo 450, maiz 1000/

;

De esta forma, hemos terminado de introducir los datos del problema. El archivo ejemplo1.gms tendrá el aspecto mostrado en la Figura 8.

Figura 8. Escritura de los datos del primer ejemplo en GAMS

Ahora, podemos definir las variables y escribir las ecuaciones del modelo. Las variables son las hectáreas de cada cultivo (X_c) y la función objetivo (Z).

La función objetivo debe ser siempre una variable libre mientras que la variable X_c no puede tomar valores negativos. Para especificar esto, introducimos las variables por separado (para la variable libre utilizamos la palabra clave variable y para las variables no-negativas positive variable).

variable

Z ‘margen total de la explotacion (euros)’

;

positive variable

X(C) ‘nivel de actividad (ha)’

;

La escritura de las ecuaciones requiere algunos comentarios. En primer lugar, utilizaremos la palabra clave equation para anunciar que vamos a introducir las ecuaciones. A continuación, vamos a declarar las ecuaciones dándoles un nombre (y escribiendo un comentario si es necesario) y vamos a terminar la declaración con un punto y coma (;). Posteriormente vamos a definir cada ecuación; para ello comenzamos por escribir el nombre de la ecuación seguido de dos puntos (..) y formulamos la ecuación (Figura 9).

Una vez que las ecuaciones han sido formuladas, nos queda dar un nombre a nuestro modelo (utilizando la palabra clave model) y dar a gams las instrucciones para resolverlo (utilizando el comando solve).

Figura 9. Escritura de las variables y ecuaciones del primer ejemplo en GAMS

3.3 Resolución del modelo y archivo de resultados

Una vez que hemos escrito nuestro modelo en lenguaje GAMS, podemos resolverlo haciendo clic en Run GAMS. Si no hay errores de escritura, GAMS resolverá el modelo y generará automáticamente un archivo ejemplo1.lst en el que presentará la solución (Figura 10).

Figura 10. Resolución del primer ejemplo en GAMS

El archivo ejemplo1.lst generado por gams es un archivo bastante extenso que contiene mucha información, entre la que podemos destacar la lista de ecuaciones detalladas y la solución del modelo. Las ecuaciones detalladas permiten verificar que no nos hemos equivocado al formular el problema (Figura 11).

Figura 11. Archivo de resultados: lista de ecuaciones

Otra forma de especificar las ecuaciones consiste en listar las variables con sus coeficientes asociados en cada ecuación del modelo (Figura 12). Esta lista de variables permite asimismo verificar que los coeficientes son los correctos.

Figura 12. Archivo de resultados: lista de variables

En el archivo ejemplo1.lst encontramos también algunas estadísticas, principalmente el número de líneas y de columnas del modelo (Figura 13).

Figura 13. Archivo de resultados: estadísticas

Después de las estadísticas, se presenta un resumen del problema ejecutado (Figura 14). GAMS indica el nombre del modelo a resolver, la función objetivo, el sentido de la optimización, el solver utilizado (conopt) y el tipo de solución obtenida (óptimo, optimo local, etc.). Esta última información es muy importante: debemos siempre verificar que GAMS ha encontrado una solución óptima, es decir, que model status es 1 (Optimal).

Figura 14. Archivo de resultados: solve summary

Los resultados aparecen al final del archivo ejemplo1.lst (Figura 15).

Figura 15. Archivo de resultados: solución

Observamos que para cada ecuación y cada variable del modelo, gams muestra el nivel elegido (level), así como el valor marginal (marginal) y los límites inferior (lower) y superior (upper). La solución óptima es X(trigo)=30 ha y X(maiz)=20 ha. El valor máximo de la variable objetivo es Z=33500 euros.

4.1 Introducción al lenguaje GAMS

Vamos a presentar a continuación una breve guía de utilización de gams (para un manual más completo, ver la guía oficial², en inglés). Comenzaremos por algunas cuestiones generales, para pasar a introducir los principales elementos del lenguaje GAMS y, por último, trataremos algunas cuestiones más avanzadas.

Los términos del lenguaje gams se pueden clasificar en dos grupos (Tabla 5):

• términos de declaración y definición de los diferentes elementos del modelo, y

• términos de ejecución o instrucciones a dar al programa.

Tabla 5. Principales palabras clave del lenguaje GAMS

El lenguaje gams es un lenguaje de programación y, como tal, tiene reglas muy estrictas de escritura. El modelo puede escribirse con cualquier editor de texto pero sin utilizar formatos particulares ni tabulaciones (el archivo que contiene el modelo debe estar escrito en texto plano).

Antes de describir los principales elementos, daremos algunas indicaciones generales relativas al lenguaje GAMS:

1. Un modelo en lenguaje GAMS es un conjunto de expresiones separadas por “punto y coma”. Siempre debemos terminar cada enunciado utilizando punto y coma (;).

2. Los elementos del código GAMS se identifican por tipo. La creación de cada elemento comporta dos pasos: declaración y atribución. La declaración consiste en indicar el tipo de elemento y darle un nombre. La atribución o definición consiste en asignar valores o forma al elemento.

3. GAMS lee el modelo de principio a fin, de modo que no podemos utilizar un elemento antes de que haya sido declarado (el orden de los elementos puede variar siempre que ningún símbolo se utilice antes de ser declarado).

4. El modelo debe escribirse en formato ASCII. No se permite la utilización de acentos en el código.

5. GAMS no diferencia entre mayúsculas y minúsculas. Tampoco tiene en cuenta el número de espacios o de líneas en blanco.

6. Algunas palabras y símbolos tienen un significado predeterminado en GAMS y, por tanto, no pueden utilizarse para dar nombre a los elementos del código (Tabla 6).

Tabla 6. Términos con un significado predeterminado en GAMS

7. Existen diversas formas de introducir comentarios: a) comenzando una línea por un asterisco (*) en la primera posición; b) en el interior de los enunciados de declaración de entidades como se verá más adelante; c) introduciendo antes del comentario la palabra clave $ontext y después del comentario la clave $offtext³.

8. Los identificadores (los nombres asignados a los elementos) deben obedecer las siguientes reglas: a) comenzar por una letra; b) tener un máximo de 63 caracteres, c) contener únicamente caracteres alfanuméricos, es decir, no incluir signos como @ ? ” ( ) % $ (Tabla 7).

Tabla 7. Algunos ejemplos de nombres de identificadores

9. Es posible introducir texto asociado a identificadores, etiquetas, etc. para facilitar la interpretación del modelo.

10. Además del punto y coma (finaliza una expresión), otros delimitadores importantes son la coma (separa elementos) y la barra inclinada (da comienzo y fin a listas de datos).

La estructura de un modelo en lenguaje GAMS varía en función del modelizador. Uno de los estilos más comunes de organizar el modelo, recomendable para principiantes, se presenta en la Figura 16.

Figura 16. Estructura base de un modelo GAMS

4.2 Los conjuntos o listas de elementos

Los conjuntos (sets) corresponden a los índices de la escritura algebraica. Las reglas principales para definir los conjuntos se presentan a continuación. Algunas cuestiones más avanzadas, como la atribución de elementos a los conjuntos o la representación del paso del tiempo serán tratadas posteriormente.

4.3 La introducción de datos

Las palabras clave utilizadas para introducir datos son scalar, parameter y table:

• scalar permite introducir escalares, es decir datos que no tienen un dominio de referencia o parámetros sin dimensiones.

• parameter permite introducir, en forma de lista, datos de una o más dimensiones.

• table permite introducir, en forma de tabla, datos de dos o más dimensiones.

Conviene señalar que por dimensión entendemos el número de dominios de definición, es decir, el número de subíndices en notación algebraica. Por otro lado, es importante mencionar que los valores o datos utilizan como separador decimal el punto (.).

En algunos casos (scalar, parameter), existen dos formas de introducir datos:

• Introducción directa (declaración y asignación de valores simultáneamente).

• Introducción mediante fórmulas de cálculo (declaración y asignación de valores en enunciados separados).

Veremos en primer la introducción directa y, a continuación, la introducción mediante fórmulas de cálculo.

4.4 Las variables

4.5 Las ecuaciones

Las ecuaciones permiten escribir las relaciones algebraicas que definen las ecuaciones y la función objetivo del modelo.

La introducción de las ecuaciones en gams se realiza en dos etapas. En primer lugar, todas las ecuaciones deben ser declaradas y, a continuación, cada ecuación debe ser formulada. La forma de introducir las ecuaciones es la siguiente:

equation

nom_eq2 “comentario”

nom_eq1 “comentario”

…

nom_eqN “comentario”

;

nom_eq1(dominio).. expresion_lhs1 tipo_eq1 expresion_rhs1;

nom_eq2(dominio).. expresion_lhs2 tipo_eq2 expresion_rhs2;

…

nom_eqN(dominio).. expresion_lhsN tipo_eqN expresion_rhsN;

Los nombres de las ecuaciones deben respetar las reglas enunciadas para el resto de identificadores. Es preciso introducir un punto y coma (;) al final de la declaración de todas las ecuaciones, y también al final de la formulación de cada ecuación.

Para formular una ecuación, comenzamos escribiendo su nombre, a continuación introducimos el signo « .. » y después escribimos la expresión correspondiente. Las ecuaciones pueden ser igualdades o desigualdades. El símbolo entre el término de la izquierda y el término de la derecha indica el tipo de ecuación (Tabla 14).

Tabla 14. Tipos de ecuaciones

En la definición de los términos de la izquierda y de la derecha podemos utilizar operadores de cálculo matemático y funciones matemáticas, de la misma forma que hemos visto para los parámetros de cálculo.

La mención del dominio de definición de una ecuación permite, como para las variables o los parámetros de cálculo, beneficiarse de comodidad de la escritura con índices. Así, por ejemplo, para expresar una restricción mensual no es preciso escribir la ecuación doce veces sino una sola.

En el caso en el que una ecuación no se defina para todos los elementos de un conjunto, sino sólo para algunos de ellos, podemos utilizar etiquetas de forma explícita en las ecuaciones. Por ejemplo, si en el modelo ejemplo1.gms queremos introducir una restricción para indicar que la superficie de maíz no puede exceder de 20 hectáreas, escribiremos:

equation SUP_ MAIZ restriccion de superficie de maiz

;

SUP_MAIZ.. X(‘maiz’) =L= 20;

4.6 Los comandos MODEL y SOLVE

4.7 Los resultados del modelo

5.1 Utilización del condicional

5.2 Conjuntos ordenados

En los modelos dinámicos, a menudo es necesario hacer referencia al periodo de tiempo precedente o siguiente, puesto que existen actividades que ligan los periodos entre sí. El programa gams permite tener en cuenta estas interrelaciones por medio de los conjuntos ordenados.

Como ya hemos comentado, un conjunto puede ser declarado como una secuencia. Por ejemplo:

set T periodos de tiempo /2001, 2002, 2003, 2004, 2005/;

5.3 El comando DISPLAY

El comando solve genera una gran cantidad de información en el archivo de salida. Al final del archivo de salida se presentan los resultados, incluyendo para cada variable tanto los valores primal y dual como los límites superior e inferior.

Para obtener una presentación más concisa de los resultados, podemos utilizar el comando display.

Si utilizamos el comando display para seleccionar los resultados a presentar, debemos utilizarlo después del comando solve. Así, si escribimos en el modelo ejemplo1.gms:

display X.L, X.M; .L = nivel de la solucion o valor primal

.M = valor dual o marginal

obtendremos la solución del modelo.

El comando display también resulta útil para mostrar cálculos intermediarios que no provienen de la optimización. Es, por ejemplo, el caso de los parámetros de cálculo. Si queremos que gams presente en el archivo de salida los valores de los parámetros de cálculo, utilizamos el comando display:

display nombre_par1, nombre_par2 ;

También podemos elegir el formato de salida con el comando option. Por ejemplo, si queremos que gams muestre los parámetros con dos cifras decimales, escribiremos:

option nombre_par1:2;

Si los parámetros están definidos sobre varios índices, es posible especificar el formato de presentación de los resultados. Por ejemplo:

option nombre_par2:2:1:1;

Especifica que deseamos dos cifras decimales, un índice por fila y un índice por columna.

El comando display permite seleccionar y reagrupar los resultados del problema. También permite realizar cálculos utilizando los resultados. Para ellos, podemos crear parámetros de resultados después del comando solve, incluyendo las informaciones que nos interesen.

5.4 El comando LOOP

El comando loop permite repetir una operación varias veces, es decir, gams ejecuta las instrucciones que se encuentran en el interior del loop de forma iterativa, una vez por cada elemento del set sobre el cual hemos definido el loop.

La sintaxis de este comando es:

loop(set_control,expresion);

El comando loop puede utilizarse para:

1. Asignar valores a un parámetro cuando existe una relación entre ellos.

2. Resolver el modelo de forma iterativa.

3. Crear tablas de resultados utilizando el comando put.

Veamos un ejemplo del primer tipo de utilización. Queremos expresar el precio del agua en distintos escenarios. Para ello, creamos un conjunto de escenarios:

set L simulaciones /L1*L5/;

y definimos un parámetro indicando el aumento del precio del agua a partir de un nivel base:

parameter TM3L(L) precio del agua;

TM3L(‘L1’) = 32;

loop(l, TM3L(L+1) = TM3L(L) + 2);

Retomando el ejemplo anterior podemos ilustrar el segundo tipo de utilización. Si deseamos ejecutar un modelo de optimización varias veces, de forma que en cada ejecución un parámetro (creamos un parámetro tm3, por ejemplo) tome un valor diferente, escribiremos:

loop(L,

TM3 = 30 + 2*ord(l);

solve MOD_LOOP using LP maximizing Z;

);

De esta forma, gams resolverá el modelo cinco veces, tomando cada vez un valor diferente para el parámetro tm3.